CADCOM/MANUEL D'UTILISATION

GEOMETRIES NON EUCLIDIENNES


Les géométries noneuclidiennes sont en général étudiées dans l'infiniment grand,pour élaborer des modéles d'univers. Les modèles d'univers de A.Friedmann et G.Lemaître se distinguent par les propriétés de l'espace (la courbure) et l'évolution temporelle de l'univers (expansion ou contraction).
Les propriétés de l'espace sont de trois types :

Espace Sphérique Ce sont des modèles à courbure positive, telle l'hypersphère à trois dimensions. Si l'univers est sphérique, il est spatialement fini et temporellement "fermé". Après la phase actuelle d'expansion,il se contractera et son histoire s'achèvera par l'opposé du Big Bang appelé Big Crunch Espace Euclidien Ce sont des modèles à courbure nulle et où la somme des angles de tout triangle est égale à 180 degrés. Si l'Univers est euclidien , il est temporellement "ouvert" : son expansion se poursuivra éternellement. Cependant on ne sait plus, dans ce cas, si l'espace est fini ou infini, car la question de la finitude ou de l'infinitude de l'espace relève non plus de la relativité générale, mais de la topologie. Espace Hyperbolique Ce sont des modéles à courbure négative, telle une nappe plissée où chaque point serait analogue à une selle de cheval.

Si l'Univers est hyperpolique , il est temporellement "ouvert"


Le 5iéme postulat D'Euclide


Pour prouver que le quadrilatère ci-dessus est un rectangle, il faut utiliser le 5è postulat d'Euclide (axiome des parallèles) qui dit que par un point situé hors d'une droite, on ne peut faire passer qu'une seule parallèle à cette droite. Les quatre premiers postulats d'Euclide permettent de prouver l'égalité des angles ^C et ^D. Le cinquième postulat permet de prouver que ces angles sont droits. Inversement si nous admettons que ces angles sont droits, alors ils sont égaux (4è postulat) et le 5è postulat en découle. Il y a donc 3 hypothèses : celle de l'angle droit ^C et ^D sont droits et nous obtenons la géométrie euclidienne élémentaire (géométrie à courbure nulle) celle de l'angle obtus . ^C et ^D sont obtus et nous obtenons la géométrie sphérique (courbure positive)dite de Riemann, où les droites sont des grands cercles et les triangles,des triangles sphériques . Sur la sphère ci-dessous, les droites sont les grands cercles de la sphère.

Pour aller d'un point à un autre de la sphère par le chemin le plus court, il faut suivre le grand cercle passant par ces points. C'est le principe utilisé en navigation maritime et aérienne. Deux droites quelconques se rencontrent donc en deux points. Pour cette géométrie, la somme des angles d'un triangle (triangle sphérique) est supérieure à 180°. Sur le dessin de droite, le triangle dont les côtés sont des quarts de méridiens possède déjà deux angles droits (cette somme est constante,elle ne dépend que du rayon de courbure de la sphère, donc que de sa courbure). celle de l'angle aigu . ^C et ^D sont aigus et nous obtenons la géométrie hyperbolique (courbure négative) dite de Lobatchevski,dont une représentation peut être donnée sur la pseudosphère :


References: Les géométries non euclidiennes(Jean-Luc Chabert, Univ. Picardie)Communication personnelle L'univers de A.Friedmann et G.Lemaître


Webmaster:
Last revised:06/2001